Resumo da aula nº 5 - Derivadas e diferenciais de funções vectoriais de várias variáveis

Dando Sequência ao programa de Matemáticas Gerais III, venho disponibilizar o conteúdo da aula nº 5 com o sumário Derivada de funções vectoriais de várias variáveis. Espero que tirem bastante proveito da mesma e, qualquer dúvida, não se refreie, pelo contrário, pergunte.

Incremento (acréscimo) total de uma função.

Definição: Incremento (acréscimo) total de uma função é a diferença ∆ (1)

Exemplo:

Para a função , achar o acréscimo total no ponto (2,3), tomando  e

Resolução

Atendendo a fórmula (1), temos:

Substituindo os valores de  vem

Derivadas Parciais

Derivada parcial a respeito de  da função  O limite da razão do incremento parcial, respeito a  em relação ao acréscimo , quando .

Segundo a definição, temos:

Analogamente define-se a derivada parcial da função  a respeito de , do seguinte modo:

Observação:

1.  – Se calcula mantendo  invariável (considerando  constante) e   considerando-se constante.
2. Da função formulada deduz-se que as regras para calcular as derivadas parciais são as mesmas que utilizam para calcular a derivada das funções de uma variável. É preciso, somente, ter em conta a respeito de que variável se busca a derivada.
   Exemplos:

Achar as derivadas parciais   e    , das funções abaixo:

1.  
2. 
3. 
   Resolução

1.  e 
2.  e
3.  e
    

As derivadas parciais de uma função de qualquer número de variáveis se acham de maneira análoga. Por exemplo, se temos uma função  de quatro variáveis

Exemplos:      

Considere a função  Calcule as suas derivadas parciais.

 

Diferencial total da função

Recebe o nome de diferencial total (ou exacta) de uma função  no ponto  á parte principal da acréscimo (incremento) total , quando  e , linear em relação aos acréscimos dos argumentos  e .

A diferença entre o incremento total e diferencial total da função é um infinitésimo de ordem superior a  .

A função tem indubitavelmente, diferencial total, quando suas diferenciais parciais são contínuas.

Se a função tem diferencial total, chama-se diferenciável. A diferencial total da função  é calculada pela fórmula:

Por analogia, a diferencial total de uma função de três argumentos  é calculada pela fórmula:

 

Exemplos:

            Achar a diferencial total das seguintes funções:

1. 
2.