Resumo da aula n.º 7 - Derivadas de funções implícitas. Derivadas direcionais. Gradiente de funções reais de várias variáveis.

Derivadas de funções implícitas

Consideremos a função do tipo .

Se a cada par de números e , pertencente a certo domínio, corresponder um ou vários valores de z que satisfazem a equação, esse define implicitamente uma ou varias funções unívocas z de x e y.

De   podemos deduzir duas funções que expressam ou definem explicitamente,  

Para acharmos as derivadas parciais da função implícita , procedemos do seguinte modo:

Primeiro calculamos , e em seguida e  pelas fórmulas

  e é natural considerarmos

Achar e   se:

1.  

 

 Solução

Primeiro calculamos

,                                              e                

agora, substituindo em e , temos:

                                                e                         

 

Derivada em uma direcção dada

Examinemos a função  e o ponto , dados no domínio D.

Do ponto M traçamos o vector S, na direcção Analisemos o ponto sobre o vector S a uma distância ds da sua origem. Então .

Se a função  é contínua e têm derivadas contínuas em relação aos seus  no domínio então é válida a fórmula

Por analogia se determina a derivada em uma direcção do s para uma função de três argumentos . Neste caso: 

Onde  e são os ângulos entre a direcção s e os eixos correspondentes das coordenadas.   e  são os cos senos directores de direcção dos vectores.

 e , onde

Exemplos:

1/ Achar a derivada , com , no ponto , nos seguintes casos:

1. Seguindo a direcção do vector
2. Seguindo a direcção do vector

a) Solução

Calculamos,

Primeiro, as derivadas parciais no ponto:

,  e

Segundo, os co-senos directores:

  e  onde

Finalmente, substituindo os valores encontrados acima na equação da derivada direccional  , temos:

b) Solução

Analogamente ao exercício anterior, temos:

As derivadas parciais no ponto são:

,  e

Os co-senos directores:

  e  , onde

Finalmente, substituindo os valores encontrados acima na equação da derivada direccional  , temos:

 

2/ O que se pode concluir dos resultados encontrados?

Resposta: A derivada direccional depende da direcção que se toma, ou seja, conforme muda a direcção, também mudam os valores dos co-senos directores e consequentemente o valor da derivada nessa direcção.

3/ Achar a derivada da função  no ponto  na direcção que forma com o eixo  um ângulo de

3) Solução

Primeiro, as derivadas parciais no ponto:

    e  

Segundo, seno e co-seno de :

 e

Finalmente temos o valor da derivada direccional no ponto P.

e

 

Gradiente de uma função.

Chama-se gradiente de uma função derivada no ponto (x,y). ao vector cujas projecções sobre os eixos das coordenadas, são as correspondentes derivadas parciais desta função:

Por analogia, para uma função  o gradiente será dado pela seguinte expressão:

Exemplos:

 

Achar o gradiente da função:

1.  no ponto
2.    no ponto
    

a) Solução

Calculamos,

Primeiro, as derivadas parciais no ponto:

 e  

Substituímos os valores encontrados na expressão do gradiente

Finalmente temos:

 

b) Solução

Procedendo de modo similar a alínea a) temos: