Resumo da aula nº 6

Derivada de uma função composta. Derivada total.

a) Função composta (definição)

Suponhamos que na equação ,  e  são funções das variáveis independentes  e , isto é , e ,

Neste caso z é uma função composta de variáveis  e . E pode ser expressa directamente como uma função de  e .

b) Derivada de funções compostas: consideremos dois casos.

Uma só variável independente

Se  é uma função diferenciável de argumentos  e , que são, por sua vez, funções diferenciáveis de uma variável independente t, isto é,, e , a derivada da função composta pode ser calculada pela fórmula:

Exemplo:

1) Achar , Se  onde  e

1) Solução

Achamos as derivadas

,   ,    e  

Substituindo em temos:

Substituindo  e  por  e simplificando temos, finalmente, a derivada total

2) Achar a derivada parcial  e a derivada total  , da função , onde

2) Solução

A derivada parcial com relação a variável  calcula-se directamente, isto é:

Para achar a derivada total da função devemos, primeiro calcular as derivadas parciais  e  como a seguir se indica:

                  e                                     

Substituindo-as na expressão da derivada total  temos:

Finalmente temos:

Derivada parcial             e  a   Derivada Total    

Z é uma função de várias variáveis independentes

Se z é uma função composta de diversas variáveis independentes, por exemplo:

Z= f (u,v), onde u=  e v=  (onde u e v são variáveis independentes; f,  e  são funções diferenciáveis), as derivadas parciais de z em relação a, x e y são expressas do seguinte modo:

 

Exemplos:
  1) Achar  e , se    e

  2) ;  e , Achar  e

1) Solução

Calculamos primeiro as derivadas parciais

 , , , ,    e .

Substituindo as respectivas derivadas na expressão da derivada total, vem:

       e

Substituindo os valores de  e  em  nas expressões das derivadas totais e simplificando, temos, finalmente:

 Como se calcula o diferencial total nesses casos?

Resposta: em todos os casos examinados é valido a fórmula:

  à (propriedade de invariância do diferencial total).