Resumo da aula nº 4 - Limite e continuidade de funções de duas variáveis

Saudações! Para todos os meus estudantes que, por motivos de força alheia, não assistiram a aula e para você que deseja aprender mais sobre o tema supra citado, deixo aqui a aula explicada ao pormenor.
Espero que tirem o máximo proveito e, qualquer dúvida, estarei disponível a atendê-las.

Aula nº 4 – Limite e continuidade de funções de duas variáveis

1. Limite de funções de várias variáveis

Definição: Se para todo , existe um número , tal que para todos os pontos  quando cada  tende a   se cumpre a desigualdade , então, o número A se chama limite da função . E tem a lugar a desigualdade .

Se o número A é o limite da função  quando , escreve-se

Exemplo:

Considere a função , definida por . Mostre, usando a definição que

Solução:

Pela definição  .

Deste modo:  

Fazendo , verifica-se , donde se conclui que

Propriedades dos limites

Sejam ,, , ponto de acumulação de D e  e .

 e , então:

1. 
2. 
3. 
4. 

Nota:

1. Se  existe, então é único
2. Se existe o  então, existem os limites iterados e são iguais, ou seja,
3. As regras utilizadas para o cálculo de limites de funções de uma variável, são válidas para o cálculo de limites de funções de duas ou mais variáveis. Poderá utilizar-se, em determinados casos, o vector direccional  ou ainda a linha .

Exemplos:

Calcule os seguintes limites:

1.                b)       c)

Resolução

1.  Indeterminação.

Podemos recorrer ao limite fundamental trigonométrico para resolver esse limite. Assim, multiplicando e dividindo por  a expressão , teremos:

Finalmente, temos que

 

1.  Indeterminação.

Conforme a nota 3 desta aula, para a resolução desse limite, utilizaremos a linha . Assim:

 é uma função que depende dos valores do parâmetro . Em conformidade com a nota 1, afirmamos que não existe .

1.  Indeterminação.

Aplicando o limite fundamental algébrico, temos:

 

1. Continuidade de funções de duas variáveis

Definição: Seja , o ponto que pertence ao domínio de definição da função . Diz-se que a função  é contínua no ponto  , se se cumpre a igualdade:

Doutro modo

 no qual  

Exemplos:

Dadas as funções abaixo, analise a continuidade de cada uma delas no ponto (0;0).

1.             2)
    
   Resolução

 

1.  

No ponto (0;0) temos  . A função é descontínua.

 

 

1.  

No ponto (0;0) temos

Mas não existe   . Concluímos, desse modo, que a função é descontínua no ponto .

Nota:

1. Uma função, contínua em cada ponto de um certo domínio, se chama contínua neste domínio.
2. Se a condição (1) não se cumpre em certo ponto , este se chama ponto de descontinuidade da função .

Exemplos:

Determine os pontos de descontinuidade das seguintes funções:

1.         b)

Resolução

1.  – Função transcendente ou não algébrica.

Devemos encontrar o ponto, ou conjunto de pontos que tornam a função descontínua. Deste modo temos:

  .

A função é positiva para qualquer . Assim sendo, a função só será descontínua apenas no ponto .

1.  – Função algébrica racional fraccionária.

Os pontos de descontinuidade dessa função são constituídos por todos os pontos que anulam o denominador.

Deste modo, é suficiente constituirmos a equação .

A função mostra-se descontínua para todos os pares  que satisfazem a equação  .